Comenzamos a trabajar con geometría del espacio.
CONTENIDOS:
*Los elementos geométricos en los poliedros y no poliedros.
- Las caras (superficies plana), aristas y vértices en los poliedros.
- Las bases en el cilindro y el cono (superficies planas).
*Las figuras circulares y otros no polígonos.
- Líneas rectas, curvas y mixtas.
- Los puntos interiores de las figuras circulares (región de plano)
*Las relaciones entre figuras.
- La clasificación de polígonos por el número de lados.
Fundamentación psicopedagógica
Hoy se concibe a la matemática como una ciencia viva, a la cual la creatividad y la intervención no son ajenas, y a su aprendizaje como un proceso constructivo, en el cual el sujeto en interacción con el objeto de conocimiento, en aproximaciones sucesivas y a partir de sus experiencias personales se apropia de esos saberes transformándolos y transformándose.
La corriente más reconocida en la actualidad, por la riqueza y por su profundidad es la DIDÁCTICA FUNDAMENTAL. Allí se reúnen diferentes teorías, todas de origen francés, teorías que surgen de investigaciones científicas. Estas son las teorías de SITUACIONES DIDÁCTICAS de enfoque epistemológico, que recoge la producción de Busseau y sus colaboradores; la teoría de los Campos Conceptuales de Gérard Vergnaud y el enfoque antropológico de Yves Chevallard.
Según Beillerot, poner en práctica los saberes teóricos implica para los docentes poder analizar su "saber hacer" que es vivencial e implícito, contrastarlo con los saberes teóricos y de procedimiento que aporta la formación y llegar a traducir a las situaciones de aula. Es una tarea compleja que entraña múltiples obstáculos y que requiere de apoyos.
"No hubiera descubierto nada de lo que descubrí si no hubiera tenido esos poderosos lentes de la teoría". Emilia Ferreiro
El espacio geométrico es un producto intelectual, donde los axiomas, las definiciones y los razonamientos deductivos rigurosos sobre determinados entes ideales aseguran la existencia de sus propiedades y permiten crear otros nuevos. Así la geometría en la Escuela Primaria debe pensarse como un medio para la organización del espacio, o sea, un medio para describir, pensar y explicar de manera racional algunos aspectos del mundo en el cual vivimos.
A esa visión de la geometría ha de añadirse una visión acorde de su enseñanza, haciendo converger en ella una posición constructivista del aprendizaje.
¿Por qué enseñar geometría en la escuela? La geometría se ha valorizado como modelo de ciencia deductiva y posee valores que imponen su enseñanza, como por ejemplo: A) Es un medio para desarrollar la percepción espacial y la visualización. B) Forma parte de nuestro lenguaje cotidiano. C) Tiene importantes aplicaciones en problemas de la vida real. D) Se usa en todas las ramas de la matemática escolar y sirve de base para comprender otros conceptos de matemática avanzada y de otras ciencias. E) Posee valor estético y cultural.
Se parte de que el aprendizaje implica la construcción de los conocimientos. El proceso de aprendizaje del alumno debe basarse en su propia actividad creadora, en sus descubrimientos personales, en sus motivaciones intrínsecas, debiendo ser la función del profesor la de orientador, guía, animador, pero no la de fuente fundamental de información.
Sólo hay aprendizaje, realmente, cuando el alumno llega a integrar en su estructura lógica y cognoscitiva los datos procedentes de la realidad exterior, en un proceso estrictamente personal, lleno de tanteos, de avances y retrocesos, que el docente puede orientar, eligiendo las situaciones didácticas más apropiadas, en cada momento, a las posibilidades intelectuales y cognoscitivas de los alumnos, más cercanas a sus intereses espontáneos, a sus motivaciones y deseos.
Sólo los conocimientos que son construidos por los propios niños son conocimientos realmente operativos, permanentes, generalizables a contextos diferentes de los de aprendizaje.
Aspectos epistemológicos subyacentes al proceso de aprendizaje
El problema de cómo se desarrolla el proceso de aprendizaje está íntimamente ligado al problema de cómo se accede al conocimiento, y puede ser analizado, en una de sus vertientes, a la luz de la Teoría del Conocimiento.
Han existido a lo largo de la historia de la Filosofía dos concepciones opuestas: el materialismo y el idealismo.
Materialismo: las ideas constituyen una representación mental, un reflejo en nuestro cerebro, de los objetos reales y de las relaciones entre ellos.
Idealismo: El mundo de las ideas tiene entidad propia, es independiente del mundo real, sin subordinación a las leyes que rigen este último.
La figura
Según Puig Adam, figura es todo conjunto de puntos. Por lo tanto, la recta, el ángulo, los polígonos, el punto, el prisma, el cilindro, la esfera - entre otros - son figuras que se irán estudiando a lo largo de todo el ciclo escolar.
El concepto de figura se irá construyendo a partir de las propiedades y las relaciones que se establezcan en y entre las mismas.
Se propone un enfoque didáctico que enfatice la construcción de significados a través de la problematización del conocimiento geométrico.
Para problematizar el conocimiento geométrico en el aula, se tendrá en cuenta los siguientes aspectos:
- Poner en juego las propiedades de las figuras.
- Propiciar la interacción de los alumnos con objetos que no pertenecen al espacio físico sino a un espacio conceptualizado, donde las figuras-dibujo trazadas los representan.
- El lugar del dibujo en la enseñanza de la Geometría debe constituirse como una herramienta para analizar las propiedades de los objetos geométricos, de aquí el valor del dibujo a mano alzada.
- Las explicaciones de los alumnos con carácter de argumentación tomando como referencia propiedades conocidas de las figuras permite la construcción de otros conocimientos sobre las mismas (Itzcovich, 1998)
Se considera didácticamente valiosa la presentación de situaciones que habiliten más de una solución o ninguna.
Así se estimulará la capacidad del alumno de utilizar las propiedades y conocimientos que domina y permitirá desarrollar un pensamiento geométrico intuitivo al formular la justificación de la solución presentada. Se deberían incluir entre otras: actividades de plegado, recortado, superposición, encastrado, discusión en torno a figuras de análisis.
CONOCIMIENTOS ESPACIALES Y GEOMÉTRICOS
Estamos inmersos en un “mundo de los números” y perdemos de vista los problemas espaciales que se resuelven a diario. (Estacionar un auto, elegir el recorrido más corto para ir a la casa, localizar una calle en un plano)
Estas habilidades y destrezas espaciales son un componente esencial del pensamiento matemático (permiten comprender el mundo circundante y encontrar un sistema inteligente para efectuar una lectura adecuada del entorno).
Desde pequeño, el niño experimenta con las formas de los objetos (juguetes, utensilios etc.) y con relaciones espaciales entre él y los objetos.
Va tomando posesión del espacio; se orienta, analiza formas, busca relaciones, adquiere un conocimiento directo del entorno.
¿CÚAL ES LA IMPORTANCIA?
PERMITE AL NIÑO ADAPTARSE AL MUNDO TRIDIMENSIONAL Y COMPRENDER LAS FORMAS Y EXPRESIONES ESPACIALES DE LA CULTURA.
El espacio se abordó desde diferentes disciplinas. La Matemática lo hizo para resolver problemas espaciales prácticos. (Dio origen a la Geometría en el antiguo Egipto)
Es importante tener en cuenta que:
Los conocimientos espaciales son anteriores a los geométricos; el niño estructura el espacio espontáneamente desde que nace.(No se enseñan)
La Geometría debe ser enseñada.
Los problemas espaciales se refieren a resolver situaciones de la vida cotidiana (Son reales).
Los geométricos se refieren a un espacio representado mediante figuras-dibujo.(son ideales, están en la mente)
(Ej: una persona redistribuye los muebles)
Las propiedades utilizadas para un campo pueden no ser las mismas que para otro
(Ej: carpintero)
El vocabulario utilizado en lo espacial es de uso social, en lo geométrico es propio de la Matemática.
(Ej: el cuadrado como rectángulo-rombo.)
NOCIONES ESPACIALES: ENFOQUES
Relaciones espaciales fundamentales:
-Se refiere al conocimiento de los conceptos espaciales en abstracto
-Utiliza el espacio como vehículo para estructurar el conocimiento y solucionar problemas
-No se considera el espacio como entorno o espacio geográfico concreto
En este enfoque se ubican los trabajos de Piaget e Inhelder
Cognición ambiental o conocimiento ambiental
-Se refiere a comprender el conocimiento que el niño tiene sobre espacios concretos y específicos (casa, escuela, barrio, etc). Es decir su entorno.
Diferenciación entre lo físico y lo geométrico
Una de las dificultades mayores para la concepción de los contenidos de Geometría es la confusión entre lo físico y lo geométrico: cuando hablamos de espacios y planos en Matemática, no nos referimos en ningún momento a espacios físicos ni a planos físicos. Un rectángulo se concibe, solamente, en un plano geométrico y un prisma se concibe, solamente, en un espacio geométrico. Y el plano geométrico y el espacio geométrico solo existen en nuestra mente: son ideas.
Para facilitar el proceso de conceptualización se emplean, habitualmente, representaciones de esas ideas; pero al no aclarar que se trata de representaciones, el niño termina confundiendo una raya en su cuaderno con una recta, un trozo de cartulina con un rectángulo, un ladrillo (o un cuerpo de madera, lo mismo da) con un prisma.
Como al entrar en el terreno de la Geometría nos evadimos de lo concreto, enseñar Geometría en el nivel escolar significa que tenemos que ayudar a concebir:
• formas geométricas que tienen tres dimensiones: por ejemplo, una forma tal que tenga la forma que muestran todas las pelotas, o todos los anillos, o todos los ladrillos,
• formas que tengan dos dimensiones: por ejemplo, las sombras, las manchas, las huellas, las “caras” que se desprenden de las figuras de tres dimensiones,
• figuras geométricas que tengan una sola dimensión: por ejemplo, los bordes de las figuras de dos dimensiones, los pliegues, los filos, las arrugas, es decir lo que llamamos líneas y
• figuras geométricas que no tengan ninguna dimensión: por ejemplo, los vértices, los cruces, los comienzos de las líneas, es decir lo que llamamos puntos, en los que no podemos determinar ni largo, ni ancho ni altura.
¿Cómo lograr que el niño conciba mentalmente estos elementos geométricos? Esa es nuestra tarea.
Objetivo General: Que los/as niños/as se aproximen a los conocimientos geométricos, apropiándose de ellos y aplicándolos en su vida cotidiana.
Objetivos Específicos:
1. Reconocer, identificar y representar cuerpos geométricos así como figuras geométricas desprendidas de estos.
2. Integrar y usar unidades de medida correspondientes al grado.
3. Aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas de ejercitación y problemas de la vida cotidiana.
Procedimientos: Observar, identificar, reconocer, clasificar, representar, medir, comparar, cuantificar, ubicar, investigar, construir, dibujar, trazar, comentar, exponer, etc.
Estrategias: Apelar a las ideas previas. Promover la participación. Desarrollar el aprendizaje a partir del error. Desarrollar la Z.D.P. Problematizar conocimientos. Atender a la diversidad. Apelar a los aprendizajes constructivos. Promover vínculos positivos.
SECUENCIA DE ACTIVIDADES
1er. paso: Figuras en el espacio
Como en el inicio nuestro abordaje será con representaciones, es correcto comenzar por las representaciones que menos distorsionan las características geométricas, o sea partiremos de manipular cuerpos físicos en el espacio real, sabiendo que el objetivo es la concepción de las figuras geométricas en el espacio geométrico de tres dimensiones.
A través de la visión, del tacto, de la construcción, del movimiento de esos cuerpos, de las deformaciones y transformaciones que podemos realizar en ellos, los niños irán descubriendo formas (tridimensionales) que se repiten, aunque cambien aspectos en ellas como el material, el tamaño, el color. Cajas de todo tipo y tamaño van a acercarlos a la idea de la forma prismática, que es en lo que se parecen todas ellas; pelotas y bolitas los llevan a ir concibiendo una forma determinada, que es lo que tienen en común todas ellas. El inicio será, pues, distinguir esas formas comunes para luego identificar si otros ejemplos están comprendidos en una clase u otra. A través del enriquecimiento del lenguaje de los niños con nombres geométricos que vamos dando (caras, curvo, plano, bordes o aristas, puntas o vértices, etc.) pasaremos de lo simplemente intuitivo a formas razonadas de la exploración.
Una actividad fundamental de esta primera aproximación es la medición. Para ello prepararemos un ángulo triedro de una caja de zapatos, marcando en los tres ejes columnas centimetradas. De este modo al colocar cualquier objeto (mates, manzanas, libros, teléfonos, ladrillos, etc.) acercándolo a ese ángulo podrán ver que alcanza una determinada altura, un determinado largo y un determinado ancho.
Si allí arrimamos una pelota los niños verificarán que ¡las dimensiones que alcanza en los ejes son iguales!
2o. paso: Figuras en el plano
El plano geométrico permite representar las figuras de dos dimensiones como polígonos, círculos, elipses, etc.
Si observamos un plano físico (la cara de un vidrio, la pantalla del televisor, el piso de una habitación, la carilla de una hoja de cuaderno, etc.) vemos que podemos aislar en él una parte, encerrándola con una línea, o vemos que podemos teñir una parte de él, manchándolo con una tinta, o vemos que podemos proyectar en él una sombra al interponer un objeto en un rayo de luz que ilumina el plano.
¿En qué se diferencia la mancha o la sombra del ladrillo o la pelota?
Si yo pudiera recortarlas y trasladarlas a mi caja de medidas, veríamos que solo tienen 2 dimensiones: no tienen altura. Pero sí podemos cuantificar en ellas un largo y un ancho.
Las formas que pueden tener las figuras en el plano son infinitas, pero nos interesan especialmente algunas de las más frecuentes. Por eso empezamos a estudiar cómo están cerradas. Allí procuraremos que los niños identifiquen aquellas figuras cerradas por líneas rectas y las cerradas por líneas curvas.
Se trata de llenar hojas o recortar papeles con las más diversas formas para tener un conjunto muy numeroso que nos permita hacer esa primera clasificación: figuras en el plano cerradas por líneas rectas y figuras en el plano cerradas por líneas curvas. Este paso de la secuencia puede profundizarse en función del nivel con el que estamos trabajando, yendo desde la identificación de triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos a análisis más profundos como explorar variantes en los polígonos como la cantidad de lados y el carácter de formas convexas o no-convexas dado por la existencia de ángulos mayores que el llano.
También en este paso corresponde la ampliación del vocabulario para facilitar el proceso de conceptualización: lado, diagonal, ángulos, arco, etc.
Sea cual sea la figura de dos dimensiones que consideremos será fácil para los niños distinguir los puntos del contorno de la misma, los puntos interiores al contorno y los puntos exteriores, que pertenecen al plano pero no a la figura.
3er. paso: Las líneas
Un nuevo material, confeccionado por el maestro, permitirá la distinción entre una superficie y una línea. Se trata de preparar en cartón un hueco (por ejemplo un cuadrado de 2 cm de lado) o usar plantillas que tienen figuras huecas o el centro de un CD. Presionando este material sobre un papel, el niño rayará en el interior del hueco hasta que quede cubierto todo ese espacio.
Cerca de ese trabajo y volviendo a presionar el material el niño contorneará el hueco.
¿Cuál es la diferencia entre un trabajo y el otro? En uno llenó una superficie, en el otro trazó una línea.
Cuando la línea es cerrada encierra una superficie, pero no todas las líneas son cerradas.
Será entonces la ocasión de diferenciar una líneas de otras y, trabajando con las líneas rectas verá que a veces se cruzan (o se cruzarían si las siguiera) y a veces no se cruzan y, más adelante que, si se cruzan, a veces se pueden cruzar como lo hacen habitualmente las calles, formando esquinas iguales. Munidos de tablitas los niños explorarán durante largos ratos, acerca de las distintas posiciones de dos rectas en un plano.
¿Cuál es el lenguaje que permite avances en la conceptualización de las líneas?
La expresión segmento de recta debe ser incorporada rápidamente, para que el niño diferencie la recta, que sigue hasta el infinito en los dos sentidos, de una parte de la misma que tiene principio y fin, que son dos puntos que aíslan esa parte de ella. Por ejemplo: las diagonales de un polígono son segmentos de recta que comienzan en un vértice y terminan en otro vértice; las cuerdas que dividen a un círculo son segmentos de recta que comienzan en un punto de la curva y terminan en otro de la misma curva, etc.
4º. paso: La calesita vuelve al revés
Hemos ido, a través de representaciones, de las figuras en el espacio a las figuras en el plano y éstas nos permitieron llegar a conocer las líneas (que aíslan partes del plano) y los puntos (que aíslan partes de las líneas).
¿Podemos ahora plantear el camino inverso?
Si en todo este abordaje era necesaria una cuota de imaginación, ahora es imprescindible “mentalizar” el trabajo aún más.
Se trata de imaginar que un punto comienza a moverse y va dejando una huella. Nos podemos ayudar con programas de dibujo en la computadora, con lápiz y papel, con imágenes como la de un pequeño animal caminando sobre la arena, con una actividad en la propia mesa de arena. Ese punto al trasladarse genera una línea.
Ya tenemos un ejemplo de línea, supongamos, un segmento de recta. Lo representamos con una aguja de tejer sobre la arena. Ahora ese segmento de recta se traslada en dirección transversal a como lo venía haciendo, es decir que se “barre” o “pincela” una parte del plano. La traslación de un segmento de recta genera una superficie, una figura de 2 dimensiones, por ejemplo, un rectángulo.
Sobre esa parte del plano (en el ejemplo, una superficie rectangular) se va a levantar un edificio. La base será la figura de 2 dimensiones, pero ahora crecerá en altura, como si superpusiéramos naipes uno encima de otro. Obtendremos una imagen de figura en el espacio de tres dimensiones.
De este modo el trabajo escolar en Geometría permite que los niños vayan descubriendo cada vez más características particulares de cada clase de figuras, pero a la vez que vayan vinculando permanentemente las figuras en el plano con las figuras en el espacio.
OTRAS ACTIVIDADES POSIBLES
Figuras bi y tridimensionales...
OBJETIVOS:
• Reconocer lo que es un cuerpo geométrico.
• Clasificar y comparar diferentes tipos de cuerpos.
• Identificar semejanzas y diferencias entre los cuerpos.
• Reproducir cuerpos a partir de un modelo.
• Construir un cuerpo a partir de datos.
• Describir cuerpos teniendo en cuenta sus propiedades.
• Representación gráfica convencional.
• Desarrollo de los vocabularios propio de esta ciencia.
ESTRATEGIAS:
1- En pequeños grupos utilizando cajas de diferentes formas y tamaños, cuerpos geométricos, recortes de madera, potes, pelotas, etc: *poner juntos los objetos que se parecen entre sí; *cada grupo explica su clasificación en ronda mediante un interlocutor.
2- Utilizando los objetos clasificados en la actividad anterior; *clasificar el material teniendo en cuenta diversas consignas como el n° de caras, n° de vértices, formas de las caras, n° de aristas, etc. Luego explicarán qué clasificación realizaron y por qué.
3- Utilizando cuerpos geométricos como pirámides de base triangular, cuadrada, cubos, paralelepípedos, prismas con base triangular, hexagonal, troncos de pirámides, etc.; el grupo elige uno de los objetos; un niño sale para luego adivinar el objeto elegido haciendo preguntas sobre su forma. Sus compañeros no responderán más que sí o no. Se discute sobre las dificultades que se presentaron en el juego. Se trata de realizar reconocimiento de los cuerpos: ¿cuáles conocen de los que están viendo? ¿cómo se llaman?
4- Utilizando cartón, plasticina, palillos, varillas, masa de sal, arcilla, cuerpos geométricos, etc.; a nivel individual, cada niño podrá elegir un cuerpo y reproducirlo, utilizando el material que crean más adecuado.
5- Usando cajas de cartón con forma cúbica, cartulina, tijera, cinta adhesiva y reglas; reproducir el cuerpo (cubo) utilizando la menor cantidad de cinta. Desarmar el cuerpo de manera que quede en un solo pedazo; dibujar en el pisaron los distintos patrones, marcar con tiza de color los cortes unidos con cinta e introducir el término patrón.
6- Con cajas de remedios (prismas rectangulares) y tijeras: ¿qué cortes podrían realizarle al prisma rectangular para que quede en un solo pedazo y así obtener un patrón? ¿cuántos cortes serían necesarios? Hacer el patrón.
7- En pequeños grupos, con cubos, prismas, hojas de papel y lápices, un equipo deberá elegir un cuerpo, escribir pistas sobre el mismo para que otro grupo pueda adivinarlo.
8- Trabajar en diferentes consignas con el TANGRAM. Confeccionarlo, armar figuras y dibujos, Reproducción del Tangram, obtener diferentes figuras, etc.
9- Forrar cajas, decorarlas, construirlas, desarmarlas, etc.
ACTIVIDAD CON TORTUGARTE
Preparado por la maestra, un programa que dibuje un cuadrado, un triángulo y un rectángulo. Se busca que el alumno se familiarice con el desplazamiento de la tortuga, por eso recomiendo que se utilice la primitiva ESPERAR (entre cada sentencia) para que el alumno observe el cambio de dirección efectuado. El alumno lo representa con su propio desplazamiento, utilizando en grupo las primitivas que pueden estar representadas en carteles, ubicándolas según la secuencia en el pizarrón.
El alumno realiza los movimientos ayudados con una cinta, que va trazando el camino.
Ejemplo: Para hacer un cuadrado.
Camina 10 pasos
Giro 90 grados a la derecha (No tengo que trabajar grados y ángulos en primero, puedo utilizar una escuadra en el piso para que gire, pero sí puedo comenzar a utilizar el término grado)
Camina 10 pasos
Giro 90 grados a la derecha, y así hasta formar el cuadrado
¿Hicimos lo mismo que la tortuga? Comparar.
Podemos trabajar esto también al dibujar sobre una hoja, el contorno de las caras de poliedros.
Bibliografía consultada:
*”Cómo construir proyectos”. Cecilia Bixio
*"El quehacer matemático en la escuela" Construcción colectiva de docentes Uruguayos- Beatriz Rodríguez Rava, Mª Alicia Xavier de Mello.
*”Geometría Escolar”. Ana Mª Bressan, Ignacio Reyna, Gustavo Zorzoli
*Programa de Educación Inicial y Primaria, ANEP, 2008
